Paradoks: kiedy nieporządek otwiera drogę zamiast ją zamykać

W zwykłym obrazie nieporządek utrudnia ruch. Przypadkowe zmiany potencjału lub współczynnika załamania rozpraszają falę, a przy dostatecznej sile mogą uwięzić ją w ograniczonym obszarze. To zjawisko nosi nazwę lokalizacji Andersona.

W układzie topologicznym te same zaburzenia mogą jednak zmienić fazę całego ośrodka. Jeżeli nieporządek przesunie układ z fazy trywialnej do topologicznej, przy jego brzegu pojawią się stany, których nie było w uporządkowanej strukturze. Wtedy transport wzdłuż brzegu może przetrwać zaburzenia, choć stany we wnętrzu pozostają zlokalizowane.

Efekt ma określone warunki. Zbyt mały nieporządek nie zmienia fazy, a zbyt silny lokalizuje również kanały brzegowe. „Poprawa przewodzenia” opisuje więc przejście między fazami w konkretnym zakresie parametrów, a nie ogólną regułę, według której defekty ułatwiają przepływ.

Zwykły izolator, stan brzegowy i rola topologii

Izolator ma szczelinę energetyczną, czyli zakres energii, w którym w idealnym, uporządkowanym układzie nie ma dostępnych stanów objętościowych. W układach fotonicznych analogiczną rolę może odgrywać szczelina quasi-energetyczna wynikająca z okresowej ewolucji pola podczas propagacji.

Sama szczelina nie wystarcza do określenia fazy. Dwa izolatory mogą mieć podobne widmo, a mimo to różnić się globalną strukturą stanów. W fazie topologicznej granica z fazą trywialną wiąże się z pojawieniem się stanów brzegowych. Ich pole koncentruje się przy krawędzi, podczas gdy stany w objętości mogą być zlokalizowane.

Wzdłuż takiego brzegu fala może propagować się mimo lokalnych zaburzeń. Ochrona topologiczna nie oznacza braku rozpraszania. Zaburzenie może zmienić amplitudę lub fazę fali, lecz odwrócenie kierunku wymaga odpowiedniego kanału przeciwbieżnego albo zmiany struktury, która zapewnia istnienie stanu brzegowego. Dlatego odporność zależy od symetrii, rodzaju zaburzenia i dostępnych kanałów propagacji.

Jak nieporządek zmienia fazę: renormalizacja masy topologicznej

Mechanizm teoretyczny opisano dla dwuwymiarowego modelu studni kwantowej HgTe. W jego uproszczonym obrazie masa topologiczna, oznaczana przez m, określa rodzaj przerwy. Jej znak rozróżnia normalne ułożenie pasm od ułożenia odwróconego, związanego z fazą topologiczną.

Losowy potencjał oddziałuje z ruchem elektronów opisanym między innymi przez kwadratowe poprawki p^2 w hamiltonianie Diraca. Po uśrednieniu wpływu nieporządku masa zostaje zastąpiona przez masę renormalizowaną \bar{m}. Dla odpowiednio dobranych parametrów nieporządek zmniejsza jej wartość, aż przy \bar{m}=0 szczelina się zamyka. Dalsze zwiększanie zaburzeń może zmienić znak masy i wprowadzić układ w fazę z odwróconą przerwą oraz stanami brzegowymi.

W swojej pracy Groth i współpracownicy użyli efektywnej teorii ośrodka, aby wyjaśnić, skąd bierze się ta zmiana w modelu HgTe. Pokazali, że przy słabym nieporządku granica fazy odpowiada przejściu krawędzi pasma przez poziom energii, a niekoniecznie standardowemu przejściu metal–izolator. Innymi słowy, nieporządek może najpierw zmienić znak masy i topologiczny charakter przerwy, zanim całkowicie zlokalizuje wszystkie stany.

Xing, Zhang i Wang zbadali ten scenariusz numerycznie, analizując przewodnictwo, długości lokalizacji i prądy brzegowe. Ich wyniki pokazały, że przy rosnącej sile nieporządku stany objętościowe mogą zostać zlokalizowane szybciej niż kanały brzegowe. To wyjaśnia, dlaczego w pewnym zakresie układ może zachować transport brzegowy, mimo że jego wnętrze staje się izolujące. W modelu elektronicznym przewidywano wówczas plateau przewodnictwa G_0=2e^2/h. Jest to wynik teoretyczny dla układu elektronowego, a nie rezultat eksperymentu fotonicznego.

Opis za pomocą samouzgodnionego przybliżenia Borna dotyczy przede wszystkim słabego lub umiarkowanego nieporządku. Przy bardzo silnych zaburzeniach samo uśrednianie ośrodka przestaje wystarczać, ponieważ o wyniku decyduje lokalizacja poszczególnych stanów.

Fotoniczny eksperyment: z trywialnej sieci do fazy topologicznej

Eksperyment Stützera i współpracowników z 2018 roku zrealizował ten scenariusz w układzie fotonicznym. W sieci falowodów współrzędna propagacji z pełni matematycznie rolę czasu w równaniu Schrödingera. Dzięki temu ewolucję światła można opisywać narzędziami używanymi do badania faz topologicznych.

Falowody miały helikalne trajektorie. Ich ruch wzdłuż kierunku propagacji łamał symetrię odwrócenia czasu i wprowadzał fotoniczny odpowiednik masy topologicznej, oznaczany przez m_\tau. Sieć składała się z dwóch podsieci o różnych współczynnikach załamania. Ich rozstrojenie tworzyło dodatkową, trywialną masę m_\delta.

Początkowo m_\delta przewyższała m_\tau, więc sieć znajdowała się w fazie trywialnej. Losowe zmiany współczynnika załamania osłabiały efektywne rozstrojenie podsieci. Gdy warunek odpowiadający m_\tau>m_\delta został spełniony, szczelina zamknęła się i otworzyła ponownie w fazie topologicznej. W tym momencie przy brzegu mogły pojawić się kanały propagacji.

Była to konkretna realizacja, a nie abstrakcyjny układ bez parametrów. Odstęp najbliższych sąsiadów wynosił a=14\,\mu\mathrm{m}, sprzężenie miało wartość około 1{,}8\,\mathrm{cm}^{-1}, okres helisy wynosił 1 cm, jej promień 10 \mu\mathrm{m}, a użyte światło miało długość fali 633 nm. Nieporządek modelowano losowymi zmianami kontrastu współczynnika załamania, które wytwarzano podczas zapisu falowodów. Szczegóły układu opisano w publikacji eksperymentalnej w Nature.

Co zaobserwowano: transport przy brzegu w nieuporządkowanej sieci

W uporządkowanej sieci można analizować pasma Blocha, ponieważ struktura powtarza się z komórki do komórki. Po wprowadzeniu losowych zmian ta periodyczność przestaje być dokładna. Fazę rozpoznaje się wtedy przez połączenie modelu efektywnego, symulacji lokalizacji oraz obserwacji transportu.

Kluczowy sygnał pojawił się po dodaniu odpowiednio silnego nieporządku. Światło można było wzbudzić przy brzegu i prowadzić wzdłuż niego, mimo że sieć bez nieporządku była trywialnym izolatorem. Taki wynik odpowiada pojawieniu się stanu brzegowego po przejściu do fazy topologicznej.

W analizie pojawia się kilka długości, których nie należy utożsamiać. Około 47 \mu\mathrm{m} opisuje wykładniczy zanik amplitudy w kierunku wnętrza dla zlokalizowanego stanu brzegowego i wiąże się z dopasowaniem profilu eksperymentalnego. Około 4a oznacza długość lokalizacji w objętości w symulacji, natomiast około 7a opisuje zanik korelacji wzdłuż brzegu. Są to wyniki różnych analiz.

Eksperyment badał propagację światła. Nie był pomiarem przewodnictwa elektrycznego ani skwantowanego prądu ładunku. Fotoniczna analogia pozwoliła sprawdzić mechanizm przejścia i transportu brzegowego w kontrolowanym układzie.

Dlaczego nie każdy nieporządek pomaga

Przebieg przejścia można podzielić na trzy jakościowo różne zakresy. Przy małym nieporządku masa topologiczna pozostaje po tej samej stronie granicy i faza się nie zmienia. W zakresie pośrednim renormalizacja masy może odwrócić charakter przerwy, a przy brzegu pojawia się kanał topologiczny. Przy bardzo silnym nieporządku lokalizacja obejmuje również stany potrzebne do transportu brzegowego.

O wyniku decyduje także rodzaj zaburzenia. Ochrona kanału zależy od symetrii układu oraz od tego, czy nieporządek miesza stany propagujące w przeciwnych kierunkach. Straty i dodatkowe sprzężenia mogą zmieniać obserwowany transport. Topologia ogranicza pewne drogi rozpraszania, ale nie usuwa wszystkich oddziaływań z otoczeniem.

Dlatego efekt nie jest uniwersalnym sposobem poprawiania przewodzenia. Ten sam poziom losowości może mieć odmienne skutki w innej geometrii, przy innej symetrii albo dla innego sposobu sprzęgania elementów. Późniejsza praca Chen i współpracowników z 2024 roku pokazała realizację fotonicznego topologicznego izolatora Andersona zachowującego symetrię odwrócenia czasu. Autorzy połączyli model efektywny, obliczenia transmisji oraz pomiary transmisji w objętości i przy brzegu. Ten przykład rozszerza klasę realizacji zjawiska, ale nie zmienia warunków dotyczących konkretnej sieci opisanej wyżej jak w układzie opisanym w 2024 roku.

Zakres wyniku i granice uogólnienia

Eksperyment pokazał, że odpowiednio zrealizowany nieporządek może wywołać topologiczną zmianę fazy w helikalnej sieci falowodów. Zakres tego wniosku wyznaczają jednak konkretne warunki: geometria sieci, długość fali, sposób sprzęgania falowodów oraz metoda losowania współczynnika załamania.

Współrzędna propagacji światła odgrywała rolę czasu, a fotoniczny transport brzegowy był analogiem transportu w modelu elektronowym. Wynik nie dowodzi powstania materiału o bezstratnym przewodzeniu ładunku. Nie można go też bezpośrednio przenieść na metale, materiały z silnymi oddziaływaniami elektronów, przypadkowe defekty kryształów ani dowolny rodzaj nieporządku.

Ograniczenie dotyczy również opisu teoretycznego. Samouzgodnione przybliżenie Borna dobrze służy przede wszystkim do analizy słabego lub umiarkowanego nieporządku. Przy silnych zaburzeniach potrzebna jest analiza lokalizacji, ponieważ prosta teoria efektywnego ośrodka nie wyznacza wiarygodnie granicy fazy.

Najkrócej ujmując, nieporządek może przenieść układ z fazy trywialnej do topologicznej, a wtedy pojawia się transport brzegowy. Dzieje się tak w określonym oknie parametrów. Po jego przekroczeniu lokalizacja ponownie wygasza transport.