Jedna trajektoria czy suma możliwych dróg?

W mechanice klasycznej, gdy znamy punkt początkowy, końcowy i działające siły, ruch opisuje określona trajektoria. W sformułowaniu kwantowym amplituda przejścia między punktem początkowym a końcowym powstaje jako suma wkładów związanych z wieloma możliwymi drogami.

Obiektem, który pozwala ten opis uchwycić ilościowo, jest propagator K(x_b,t_b;x_a,t_a). To zespolona amplituda przejścia z położenia x_a w chwili t_a do położenia x_b w chwili t_b. Zawiera więc zarówno informację o wielkości amplitudy, jak i o jej fazie. Sama jasność światła albo rozkład intensywności nie wystarcza do odtworzenia tej fazy.

W pracy Wen i współpracowników opublikowanej w Nature Photonics zmierzono propagatory pojedynczych fotonów. Następnie sprawdzono, czy z ekstremum odpowiednio skonstruowanej funkcji tych propagatorów można odtworzyć trajektorie przewidywane przez mechanikę klasyczną. Pytanie dotyczyło więc związku między pełnym opisem kwantowym a klasycznym ruchem, a nie poszukiwania jednej drogi, którą foton miałby przebyć w sposób obserwowalny.

Jak foton może naśladować cząstkę kwantową?

Doświadczenie nie polegało na nadaniu fotonowi rzeczywistej masy spoczynkowej. Wykorzystano optyczną analogię. Foton poruszał się głównie wzdłuż osi układu, a jego poprzeczna ewolucja była opisana w przybliżeniu paraxialnym. Przybliżenie to zakłada, że pęd wzdłuż osi propagacji jest znacznie większy od składowych poprzecznych, czyli p_z \gg p_x,p_y.

W takich warunkach równanie opisujące zmianę poprzecznej funkcji falowej ma postać analogiczną do równania Schrödingera dla jednowymiarowej cząstki. Położenie wzdłuż osi optycznej można potraktować jako efektywny czas: t=z/c, gdzie z jest odległością przebywaną przez światło, a c prędkością światła.

W doświadczeniu użyto fotonów o długości fali 795 nm. Początkowa szerokość poprzeczna wiązki wynosiła około 0,4 mm. W opisie analogowym pojawia się efektywna masa m=p_z/c, która jest parametrem równania dla poprzecznej ewolucji. Nie oznacza to, że foton w układzie uzyskał masę spoczynkową. Oznacza, że matematyczna postać jego propagacji pozwala badać odpowiednik propagatora cząstki kwantowej.

Pomiar amplitudy, nie tylko jasności

Pomiar propagatora wymagał dostępu do jego fazy. W doświadczeniu poprzeczną pozycję fotonu podzielono na dyskretne położenia. Następnie wybrane położenie początkowe sprzęgano z dodatkowym, dwupoziomowym stopniem swobody fotonu. Funkcję wskaźnika pełniła polaryzacja.

Po propagacji układu wykonywano postselekcję, czyli wybierano fotony znalezione w określonym położeniu końcowym x_m. Stan polaryzacji po takim wyborze zawierał informację o amplitudzie K(x_m,t;x_a,t_a)=\langle x_m|T(t-t_a)|x_a\rangle.

Odczyt odpowiednich składowych polaryzacji pozwalał wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną tej amplitudy. Dzięki temu mierzono propagator jako wielkość zespoloną, a nie jedynie jego moduł. Zastosowane silne sprzężenie miało kąt \theta=\pi/2. Szczegóły aparatury służyły konkretnemu celowi: uzyskać informację o fazie przejścia, która jest kluczowa dla późniejszego wyznaczenia trajektorii.

Skąd bierze się klasyczna trajektoria?

Każdej możliwej drodze w całce Feynmana odpowiada amplituda z czynnikiem fazowym \exp(iS/\hbar), gdzie S jest działaniem, a \hbar stałą Plancka podzieloną przez 2\pi. Różne drogi mają różne wartości działania, więc ich fazy zwykle się różnią.

Dla większości sąsiednich dróg działanie zmienia się szybko. Odpowiadające im fazy układają się w taki sposób, że amplitudy w dużej mierze się wygaszają. W pobliżu drogi, dla której pierwsza zmiana działania znika, \delta S/\delta x(t)=0, faza zmienia się wolniej. Wkłady z tego obszaru mogą wtedy wzmacniać się przez interferencję.

To wyjaśnia, dlaczego w granicy klasycznej pojawia się określona trajektoria. Jest ona związana z obszarem stacjonarnego działania. Określenie „zasada najmniejszego działania” jest historycznym skrótem. Warunek \delta S=0 nie wymaga, aby działanie osiągało minimum. Może chodzić o dowolne ekstremum lub szerzej, o punkt stacjonarny funkcji opisującej działanie.

Dwie dynamiki: swobodna i harmoniczna

Autorzy sprawdzili procedurę w dwóch układach. Pierwszy odpowiadał propagacji swobodnej, czyli ruchowi bez dodatkowego potencjału. Drugi realizował potencjał harmoniczny, taki jak w układzie, w którym siła przywraca obiekt do położenia równowagi.

W optycznej wersji potencjał harmoniczny uzyskano za pomocą soczewki GRIN. Jej kwadratowy rozkład współczynnika załamania odpowiadał potencjałowi V(x)=m\omega^2x^2/2. Brak soczewki oznaczał propagację swobodną.

Dla ustalonych położeń początkowych i końcowych mierzono propagator w pośrednich położeniach. Następnie analizowano ekstremum odpowiednio skonstruowanej funkcji propagatorów zależnej od położenia pośredniego i czasu. W ten sposób rekonstruowano krzywą łączącą oba końce. W przykładach dla pułapki harmonicznej analizowano między innymi pary położeń (0{,}040\ \mathrm{mm},0{,}016\ \mathrm{mm}), (0,0) oraz (-0{,}040\ \mathrm{mm},-0{,}016\ \mathrm{mm}).

Odtworzone trajektorie były zgodne z krzywymi przewidywanymi klasycznie. Wyniki przedstawiano jako średnie z trzech powtórzeń wraz z odchyleniami standardowymi i porównywano z krzywymi teoretycznymi. Zgodność dotyczyła zarówno przypadku swobodnego, jak i harmonicznego, więc procedura działała dla dwóch różnych kontrolowanych dynamik.

Co dokładnie pokazał eksperyment?

Główny wynik można sformułować następująco: klasyczna trajektoria pojawiła się jako własność zmierzonego propagatora. Badacze nie musieli przyjmować z góry, że foton przebywa jedną określoną drogę. Zmierzyli amplitudę przejścia, wykorzystali jej fazę i wyznaczyli położenia odpowiadające warunkowi stacjonarności działania.

To pokazuje, jak opis klasyczny wyłania się z kwantowego formalizmu całek po trajektoriach. Suma wkładów wielu dróg ma strukturę, w której okolice drogi stacjonarnej pozostawiają wyraźny ślad w danych o propagatorze. Klasyczny ruch jest więc związany z interferencją amplitud, a nie z dodatkową regułą nakazującą fotonowi wybierać najkrótszą albo energetycznie najtańszą trasę.

Interpretacja wyniku ma określony zakres. Eksperyment rekonstruował trajektorię na podstawie wielu pomiarów propagatora i postselekcji. Nie śledził jednego fotonu punkt po punkcie, pozostawiając jego stan bez zaburzenia, i nie rozstrzygał, czy pojedynczej drodze należy przypisać niezależny status fizyczny w pełnym opisie kwantowym.

Zakres wyniku i jego granice

Wynik dotyczy paraxialnego układu optycznego, który odtwarza efektywną nierelatywistyczną dynamikę poprzeczną. Nie jest bezpośrednim testem pełnej relatywistycznej dynamiki fotonu. Znaczenie zastosowanej analogii wynika z podobieństwa równań i kontrolowanych warunków propagacji.

Zbadano dwa przypadki: propagację swobodną i potencjał harmoniczny. Na tej podstawie nie można automatycznie ocenić, jak dokładnie ta sama procedura działałaby dla dowolnego potencjału, silnie nieliniowego układu, wielu cząstek albo układu mocno sprzężonego ze środowiskiem. Rekonstrukcja wynika z pomiaru propagatora i warunku ekstremum. Nie jest obserwacją jednej, niezakłóconej trajektorii pojedynczego fotonu.

Doświadczenie ilustruje mechanizm stacjonarności fazy i związek między opisem kwantowym a klasycznym. Nie rozstrzyga wszystkich sporów interpretacyjnych dotyczących całek po trajektoriach.